Докажите что при любых значениях х выражение х²+у²-2х+4у+5 принимает неотрицательные значения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала рассмотрим данное выражение как функцию двух переменных f(x, y) = x² + y² - 2x + 4y + 5.

Теперь найдем минимум этой функции по переменной y:

f(x, y) = x² + y² - 2x + 4y + 5

Чтобы найти минимум, найдем производную по переменной y и приравняем ее к нулю:

df/dy = 2y + 4 = 0
y = -2

Теперь подставим y = -2 обратно в исходное уравнение f(x, y):

f(x, -2) = x² + 4 - 2x - 8 + 5
f(x, -2) = x² - 2x + 1

Теперь найдем корни этого уравнения при помощи дискриминанта:

D = (-2)² - 411 = 4 - 4 = 0

Так как дискриминант равен нулю, то это значит, что данное уравнение имеет один корень. Известно, что квадратное уравнение с нулевым дискриминантом имеет либо один минимум, либо один максимум. Так как у нас найден минимум, значит соответствующее выражение при любых значениях х принимает неотрицательные значения.

Это и доказывает, что при любых значениях х выражение х²+у²-2х+4у+5 принимает неотрицательные значения.