В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16, боковое ребро 20. Найти высоту и сторону основания

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты и стороны основания правильной четырехугольной пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Высота пирамиды h равна расстоянию от вершины пирамиды до середины стороны основания. Поэтому можно построить прямоугольный треугольник с катетами h и половиной стороны основания (пусть это будет x).

Тогда у нас будет следующее соотношение:
x^2 + h^2 = a^2, где a - боковое ребро пирамиды.

Из задачи у нас известно, что h = 16 и a = 20, поэтому:
x^2 + 16^2 = 20^2,
x^2 + 256 = 400,
x^2 = 144,
x = 12.

Теперь найдем сторону основания пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника, образованного диагональю основания, радиусом вписанной окружности и боковой стороной пирамиды:

r^2 + (x/2)^2 = a^2,
r^2 + 6^2 = 20^2,
r^2 + 36 = 400,
r^2 = 364,
r = √364 = 2√91.

Таким образом, высота пирамиды равна 16, а сторона основания - 12, радиус вписанной окружности - 2√91.