Составить уравнение касательных к эллипсу x^2 + 4y^2 = 20 перпендикулярных к прямой 2x - 2y - 13 = 0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение общей касательной к эллипсу x^2 + 4y^2 = 20 и прямой 2x - 2y - 13 = 0.

Уравнение данного эллипса можно представить в виде x^2/20 + y^2/5 = 1.

Общее уравнение касательной к эллипсу в точке (x0, y0) имеет вид:
xx0/20 + yy0/5 = 1.

Затем найдем производные функций x^2/20 и y^2/5:
dx^2/20 = x0/20
dy^2/5 = y0/5.

Теперь у нас есть два уравнения:
1) x0/20 + y0/5 = 1,
2) x0 - y0 - 13 = 0.

Решаем систему и находим точку касания касательной к эллипсу и прямой:
x0 = 4, y0 = -9.

Подставляем найденное в уравнение касательной и получаем уравнение касательной:
4x/20 - 9y/5 = 1,
Приводим уравнение к виду:
x/5 - 9y/5 = 1,
x - 9y = 5.

Таким образом, уравнение касательной к эллипсу x^2 + 4y^2 = 20 и перпендикулярной к прямой 2x - 2y - 13 = 0 имеет вид:
2x - 2y = 13.