Для начала найдем уравнение касательной к данной гиперболе.
Исходное уравнение гиперболы x^2/16 - y^2/8 = 1 можно переписать в виде y^2 = 8x^2 - 128.
Возьмем производную от обеих сторон по xdy/dx = 16x/√(8x^2 - 128)
Найдем уравнение нормали к гиперболе, проходящей через точку (a, b)(y - b) = -√(8a^2 - 128) * (x - a) / (16a)
Учитывая, что нормаль перпендикулярна касательной, найдем a и b из системы уравнений касательной и нормали.
Уравнение касательнойdy/dx = 16a/√(8a^2 - 128)
Уравнение нормалиb = a^2/16 - 8 - 64/a
Подставляя значение b в уравнение касательной, найдем значение a16a/√(8a^2 - 128) = 1/1256a^2 = 8a^2 - 12248a^2 = -12a^2 = -128 / 24a = ±√(64/31)
Таким образом, получаем точки касания касательной и гиперболы(-√(64/31), 8√(64/31)) и (√(64/31), -8√(64/31))
Теперь найдем угловой коэффициент прямой 2x + 4y - 5 = 0dy/dx = -1/2
Так как касательная параллельна прямой, то ее угловой коэффициент тоже равен -1/2.
Теперь можем составить уравнение касательной к найденным точкамy - 8√(64/31) = (-1/2)(x + √(64/31)y + 8√(64/31) = (-1/2)(x - √(64/31))
Вычислим расстояние между прямой и касательной по формулеd = |5√(31) / 2| = 5√31 / 2
Таким образом, расстояние между прямой и касательной равно 5√31 / 2.
Для начала найдем уравнение касательной к данной гиперболе.
Исходное уравнение гиперболы x^2/16 - y^2/8 = 1 можно переписать в виде y^2 = 8x^2 - 128.
Возьмем производную от обеих сторон по x
dy/dx = 16x/√(8x^2 - 128)
Найдем уравнение нормали к гиперболе, проходящей через точку (a, b)
(y - b) = -√(8a^2 - 128) * (x - a) / (16a)
Учитывая, что нормаль перпендикулярна касательной, найдем a и b из системы уравнений касательной и нормали.
Уравнение касательной
dy/dx = 16a/√(8a^2 - 128)
Уравнение нормали
b = a^2/16 - 8 - 64/a
Подставляя значение b в уравнение касательной, найдем значение a
16a/√(8a^2 - 128) = 1/1
256a^2 = 8a^2 - 12
248a^2 = -12
a^2 = -128 / 24
a = ±√(64/31)
Таким образом, получаем точки касания касательной и гиперболы
(-√(64/31), 8√(64/31)) и (√(64/31), -8√(64/31))
Теперь найдем угловой коэффициент прямой 2x + 4y - 5 = 0
dy/dx = -1/2
Так как касательная параллельна прямой, то ее угловой коэффициент тоже равен -1/2.
Теперь можем составить уравнение касательной к найденным точкам
y - 8√(64/31) = (-1/2)(x + √(64/31)
y + 8√(64/31) = (-1/2)(x - √(64/31))
Вычислим расстояние между прямой и касательной по формуле
d = |5√(31) / 2| = 5√31 / 2
Таким образом, расстояние между прямой и касательной равно 5√31 / 2.