Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат Ф: y = e^x, x= 0, x = 1, y = 0, Ox Если можно, то с объяснениями как делали. Заранее спасибо.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ox, используем метод цилиндров.

Сначала найдем уравнение площади фигуры, которую вращаем вокруг оси. Для этого найдем интеграл от функции y=e^x взятый от x=0 до x=1:
S = ∫[0,1] e^x dx = e^x |[0,1] = e^1 - e^0 = e - 1

Теперь найдем объем тела, используя формулу:
V = π∫[0,1] (f(x))^2 dx

где f(x) - функция, которую вращаем вокруг оси. В данном случае это y = e^x.

V = π∫[0,1] (e^x)^2 dx = π∫[0,1] e^(2x) dx = π (1/2) e^(2x) |[0,1] = π (1/2) (e^2 - e^0) = π (1/2) (e^2 - 1).

Подставляем значение e = 2.71828 и округляем до двух знаков после запятой:
V ≈ 1/2 π (e^2 - 1) ≈ 1/2 π (7.38906 - 1) ≈ 6.46

Ответ: объем тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ox, составляет примерно 6.46.