найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=0, у=х2/2, 2х+5у-14=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нам нужно найти точки пересечения данных кривых.

Найдем точки пересечения прямой 2x + 5y = 14 с у = 0: подставляем y = 0 в уравнение прямой и получаем 2x = 14, откуда x = 7.

Теперь найдем точки пересечения прямой 2x + 5y = 14 с y = x^2/2: подставляем y = x^2/2 в уравнение прямой и получаем 2x + 5x^2/2 = 14, откуда x^2 + 2x - 7 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем два решения: x = 1 и x = -7.

Итак, точки пересечения кривых: A(7, 0), B(1, 1/2), C(-7, 49/2).

Теперь мы можем найти объем тела, образованного вращением фигуры между кривыми вокруг оси OX. Для этого используем метод цилиндров.

V = π ∫[a, b] y^2 dx

Где a=-7, b=7.

Для точек A и B (от -7 до 1/2) высота цилиндра будет y_квадрат = (x^2)/2, а для точек B и C (от 1/2 до 7) высота цилиндра будет y_линия = (14-2x)/5.

Таким образом, объем тела равен:

V = π ∫[-7,1/2] ((x^2)/2)^2 dx + π ∫[1/2,7] ((14-2x)/5)^2 dx

Вычислим данное интегралы и найдем объем тела.