Найти общие решения уравнения (1+2y)*x*dx+(1+x^2)*dy=0 (1+2y)*x*dx+(1+x^2)*dy=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала запишем уравнение в виде уравнения в полных дифференциалах:

(1+2y)*xdx + (1+x^2)dy = 0

(1+2y)dx + (1+x^2)dy = 0

Теперь найдем частные производные от (1+2y) по y и от (1+x^2) по x:

∂/(∂y)(1+2y) = 2

∂/(∂x)(1+x^2) = 2x

Так как эти частные производные совпадают, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Теперь найдем общее решение уравнения в полных дифференциалах:

Интегрируем по x:

∫(1+2y)dx = x + yx + C(y)

где C(y) - произвольная функция только от y.

Теперь дифференцируем это выражение по y:

∂/(∂y)(x+yx+C(y)) = x + y + y∂C/(∂y)

2y = y∂C/(∂y)

∂C/(∂y) = 2

Теперь интегрируем это уравнение по y:

C(y) = 2y + K

Где K - произвольная постоянная.

Итак, общее решение уравнения (1+2y)xdx + (1+x^2)*dy = 0:

x + yx + 2y + K = 0