Для начала запишем уравнение в виде уравнения в полных дифференциалах:
(1+2y)*xdx + (1+x^2)dy = 0
(1+2y)dx + (1+x^2)dy = 0
Теперь найдем частные производные от (1+2y) по y и от (1+x^2) по x:
∂/(∂y)(1+2y) = 2
∂/(∂x)(1+x^2) = 2x
Так как эти частные производные совпадают, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Теперь найдем общее решение уравнения в полных дифференциалах:
Интегрируем по x:
∫(1+2y)dx = x + yx + C(y)
где C(y) - произвольная функция только от y.
Теперь дифференцируем это выражение по y:
∂/(∂y)(x+yx+C(y)) = x + y + y∂C/(∂y)
2y = y∂C/(∂y)
∂C/(∂y) = 2
Теперь интегрируем это уравнение по y:
C(y) = 2y + K
Где K - произвольная постоянная.
Итак, общее решение уравнения (1+2y)xdx + (1+x^2)*dy = 0:
x + yx + 2y + K = 0
Для начала запишем уравнение в виде уравнения в полных дифференциалах:
(1+2y)*xdx + (1+x^2)dy = 0
(1+2y)dx + (1+x^2)dy = 0
Теперь найдем частные производные от (1+2y) по y и от (1+x^2) по x:
∂/(∂y)(1+2y) = 2
∂/(∂x)(1+x^2) = 2x
Так как эти частные производные совпадают, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Теперь найдем общее решение уравнения в полных дифференциалах:
Интегрируем по x:
∫(1+2y)dx = x + yx + C(y)
где C(y) - произвольная функция только от y.
Теперь дифференцируем это выражение по y:
∂/(∂y)(x+yx+C(y)) = x + y + y∂C/(∂y)
2y = y∂C/(∂y)
∂C/(∂y) = 2
Теперь интегрируем это уравнение по y:
C(y) = 2y + K
Где K - произвольная постоянная.
Итак, общее решение уравнения (1+2y)xdx + (1+x^2)*dy = 0:
x + yx + 2y + K = 0