Геометрия, правильный шестиугольник Дан правильный шестиугольник, где отмечен его центр, все вершины и на каждой стороне по 2 дополнительные точки, которые поделят сторону на 3 равные части (то есть всего отмечено 19 точек).
Сколько существует (невырожденных) треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

К Фоксфорду хотели успеть? :)

Решение такое.

1. Сосчитаем сначала кол-во треугольников, не содержащих в качестве одной из вершин центр шестиугольника.

а) Если бы это была окружность, а не шестиугольник, то это было бы просто - кол-во сочетаний из 18 (кол-во точек на окружности) по 3 (далее для краткости буду говорить С по 3 из 18), т.е. (18*17*16)/(2*3)=816. Но для шестиугольника это будет неверно, поскольку у него есть грани (отрезки прямой), соединяя между собой точки которых, мы будем получать вырожденные треугольники, кол-во которых нужно будет вычесть из числа, полученного ранее. Давайте их сосчитаем.

б) На каждой грани - 4 точки, т.е. вырожденных треугольников, очевидно, тоже 4 (если неочевидно, то это С по 3 из 4 :). Т.к. граней 6, то общее кол-во вырожденных треугольников: 6*4=24.

Таким образом, результат пункта 1: 816-24=792.

2. Теперь сосчитаем кол-во треугольников, содержащих в качестве одной из вершин центр шестиугольника.

а) "Фиксируем" в качестве одной из вершин треугольников центр шестиугольника. Тогда нужное число - это кол-во пар точек, лежащих на шестиугольнике, т.е. С по 2 из 18, т.е. (18*17)/2=153. Но, опять же, среди этих треугольников будут и вырожденные - те, чьи вершины, лежащие на шестиугольнике, будут противоположны друг другу относительно центра шестиугольника (т.е. все три точки лежат на одной прямой). Давайте их сосчитаем.

б) Тут совсем просто - у нас 18 точек на шестиугольнике, значит противоположных пар 9.

Таким образом, результат пункта 2: 153-9=144.

Ну и окончательный ответ (пункты 1 + 2): 792+144=936.

...Кстати, обращаю внимание, что решение, приведенное здесь:

https://otvetka.tutoronline.ru/question/dan-pravilnyj-shestiugolnik-otmetim-ego-centr-vse-vershiny-takzhe-na-kazhdoj-storone-otmetim-po-2-dopolnitelnye-tochki-kotorye-p

как видно, является неправильным :)