Рассмотрим все возможные варианты знаков у аргументов модулей:

Пусть x - 1, x - 3 и x - 7 все положительные:
х - 1 + х - 3 + x - 7 = 6
3x - 11 = 6
3x = 17
x = 17/3
17/3 не удовлетворяет условию, так как не является целым числом.

Пусть x - 1 и x - 3 положительные, а x - 7 отрицательное:
х - 1 + х - 3 - (x - 7) = 6
2x - 11 = 6
2x = 17
x = 17/2
17/2 не удовлетворяет условию.

Пусть x - 1 положительное, а x - 3 и x - 7 отрицательные:
х - 1 - (x - 3) - (x - 7) = 6
-2x + 11 = 6
-2x = -5
x = 5/2
5/2 не удовлетворяет условию.

Пусть x - 1, x - 3 и x - 7 все отрицательные:
-(x - 1) - (x - 3) - (x - 7) = 6
-3x + 11 = 6
-3x = -5
x = 5/3

Пусть х - 1 и x - 7 положительные, а x - 3 отрицательное:
х - 1 - (x - 3) + (x - 7) = 6
-x - 5 = 6
-x = 11
x = -11
-11 не удовлетворяет условию.

Пусть х - 1 положительное, а х - 3 и х - 7 отрицательные:
x - 1 - (x - 3) + (x - 7) = 6
-3 = 6
Решений нет.

Итак, единственным корнем уравнения является x = 5/3.