Задание по геометрии даны вершины треугольника ABC.
А ( -5; 2 ), В ( 7; -7 ), С ( 5; 3 ).
Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты CD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Длина стороны АВ:
AB = √[(7 - (-5))^2 + (-7 - 2)^2] = √[12^2 + (-9)^2] = √(144 + 81) = √225 = 15

2) Уравнение стороны АВ:
Уравнение прямой, проходящей через точки A(-5, 2) и B(7, -7) имеет вид:
y = kx + b

где k - угловой коэффициент, b - свободный член.

Угловой коэффициент k вычисляется как k = (y2 - y1) / (x2 - x1):
k = (-7 - 2) / (7 - (-5)) = -9 / 12 = -3 / 4

Подставим одну из точек, например, A(-5, 2), в уравнение прямой:
2 = (-3/4)(-5) + b
2 = 15/4 + b
b = 2 - 15/4 = 8/4 - 15/4 = -7/4

Таким образом, уравнение стороны AB: y = (-3/4)x - 7/4

Угловой коэффициент стороны AC вычисляется аналогично и равен:
k = (3 - 2) / (5 - (-5)) = 1 / 10

Уравнение стороны AC: y = (1/10)x + 7/2

3) Внутренний угол А в радианах:
cos(∠A) = [AB^2 + AC^2 - BC^2] / (2 AB AC)
cos(∠A) = (15^2 + 10^2 - 13^2) / (2 15 10)
cos(∠A) = (225 + 100 - 169) / 300
cos(∠A) = 156 / 300
∠A = arccos(0.52) ≈ 1.02 радиан

4) Уравнение высоты CD и ее длина:
Высота проведена из вершины A перпендикулярно стороне BC. Угловой коэффициент стороны BC равен 0.4, значит угловой коэффициент высоты CD равен -2.5 (противоположный и перпендикулярный).

Уравнение высоты CD:
y = -2.5x + c

Точка пересечения высоты с осью y (точка C(5, 3)):
3 = -2.5*5 + c
3 = -12.5 + c
c = 15.5

Уравнение высоты CD: y = -2.5x + 15.5

Длина высоты CD можно найти как расстояние от точки C до прямой AB (расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax + By + C = 0 равно |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)):
|(-3/4)5 - 13 - 7/4| / sqrt((-3/4)^2 + 1^2) = |(-15/4) - 3 - 7/4| / sqrt(9/16 + 1)
= |(-15/4) - 12/4 - 7/4| / sqrt(9/16 + 16/16)
= |-34/4| / sqrt(25/16)
= 34/4 / (5/4) = 34/5 = 6.8

5) Уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр:
Уравнение окружности в общем виде имеет вид: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра, r - радиус.

Так как CD - диаметр окружности, то центр окружности находится на середине отрезка CD, а радиус равен половине длины CD:
Середина отрезка CD ((7+5)/2; (3+15.5)/2) = (6; 9.25)
Радиус r = 6.8 / 2 = 3.4

Таким образом, уравнение окружности: (x - 6)^2 + (y - 9.25)^2 = 3.4^2

6) Система линейных неравенств, определяющих треугольник ABC:
Система неравенств состоит из трех неравенств, соответствующих строгости сторон треугольника:

1) AB + AC > BC
15 + 10 > 13
25 > 13 - выполняется

2) AB + BC > AC
15 + 13 > 10
28 > 10 - выполняется

3) AC + BC > AB
10 + 13 > 15
23 > 15 - выполняется

Таким образом, треугольник ABC существует.