Доказать методом математической индукции равенство для натуральных чисел n: Доказать методом математической индукции равенство для натуральных чисел n: 2^2+ 4^2 〖+6〗^2+…+〖(2n)〗^2=(2n(n+1)(2n+1))/3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное равенство по индукции.

База индукции: для n = 1
2^2 = 4, а (21(21+1))/3 = (21*3)/3 = 6/3 = 2. Таким образом, база индукции выполнена.

Предположение индукции: пусть равенство верно для некоторого n = k, т.е.
2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2k)^2 = (2k(k+1)(2k+1))/3

Шаг индукции: докажем, что при n = k+1 также выполняется равенство. Для этого добавим слагаемое (2k+2)^2 к обеим частям:
2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2k)^2 + (2k+2)^2 = (2k(k+1)(2k+1))/3 + (2k+2)^2 =
= (2k(k+1)(2k+1))/3 + 4(k+1)^2 =
= 2k(k+1)(2k+1+6(k+1))/3 =
= 2k(k+1)(2k+1+6k+6)/3 =
= 2k(k+1)(2k+6k+7)/3 =
= 2k(k+1)(8k+7)/3 =
= 2(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/3

Таким образом, равенство доказано для n = k+1.

Итак, по принципу математической индукции равенство 2^2+ 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2 = (2n(n+1)(2n+1))/3 верно для всех натуральных чисел n.