Найти работу, производимую силой (Fx, Fy) вдоль дуги параболы y=x^2 от точки с абсциссой x=0 до точки с абсциссой x=1 Fx=5x–8y+2, Fy=9x+7y–3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения работы, производимой силой вдоль дуги параболы, необходимо вычислить уравнение криволинейного интеграла.

Пусть функция работы W(x, y) выражается как:

W(x, y) = ∫ (Fx dx + Fy dy)

где Fx и Fy - компоненты силы.

Так как путь интегрирования - это дуга параболы y=x^2, то y = x^2. Подставим это условие в компоненты силы Fx и Fy:

Fx = 5x - 8(x^2) + 2 = 5x - 8x^2 + 2
Fy = 9x + 7(x^2) - 3 = 9x + 7x^2 - 3

Теперь запишем интеграл:

W(x, y) = ∫ (5x - 8x^2 + 2) dx + (9x + 7x^2 - 3) dy

Заменим dy на y':

W(x, y) = ∫ (5x - 8x^2 + 2) dx + (9x + 7x^2 - 3) (2x dx)

Выполним интегрирование:

W(x, y) = ∫ (5x - 8x^2 + 2) dx + ∫ (18x^2 + 14x^2 - 6x) dx
W(x, y) = 5∫x dx - 8∫x^2 dx + 2∫dx + 18∫x^2 dx + 14∫x^2 dx - 6∫x dx
W(x, y) = 5(x^2 / 2) - 8(x^3 / 3) + 2x + 18(x^3 / 3) + 14(x^3 / 3) - 6(x^2 / 2)

Вычислим значения работы между x=0 и x=1:

W(1, 1) - W(0, 0) = (5/2 - 8/3 + 2 + 18/3 + 14/3 - 3) - (0) = 28.17

Таким образом, работа, производимая силой вдоль дуги параболы y=x^2 от точки с абсциссой x=0 до точки с абсциссой x=1, равна 28.17.