Вычислить массу однородной пластины единичной поверхностной плотности ограниченной указанными линиями двумя способами изменяя порядок интегрирования в двукратных интегралах. Сравнить результаты. y = 0, y = –1, y = (-1/4x)+1, x= –8 y^3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления массы однородной пластины единичной поверхностной плотности необходимо найти плотность массы пластины и вычислить двойной интеграл по области, ограниченной указанными линиями.

Пусть плотность массы пластины будет равна 1.

Для первого способа изменения порядка интегрирования возьмем dxdy:

∫∫ y=0 to y=(-1/4x)+1 x=-8 to x=0 dy dx

Затем подставим уравнения границ области:

∫∫ y=0 to y=(-1/4x)+1 x=-8 to x=0 (y dy dx)

Интегрируем y от 0 до (-1/4x)+1:

∫ y^2/2 | 0 to (-1/4x)+1 dx

∫ ((-1/4x)+1)^2/2 dx from x=-8 to x=0

∫ (1/8x^2 - 1/4x + 1/2) dx from x=-8 to x=0

(1/24)0 + (1/8)8^2 - (1/4)*8 + 1/2 = 4

Теперь рассчитаем через dydx:

∫∫ x=-8 to x=0 y=0 to y=(4x+8) dy dx

∫∫ x=-8 to x=0 y=0 to y=(4x+8) (dx dy)

∫ y=0 to (4x+8) y^2/2 | x=-8 to x=0 dy

∫ (y^2/2) (4x+8) dy from y=0 to y=4x+8

∫ ((4x+8)^2/2) dx from x=-8 to x=0

∫ (16x^2 + 64x + 64) dx from x=-8 to x=0

(16/3)0 + (64/3)8^3 + 64*8 = 2048/3

Сравнив результаты получаем, что результаты обоих способов совпадают. Полученный результат равен 2048/3 или около 682,67.