X1, x2, x3, x4, x5 — положительные числа. Какое наименьшее значение может принимать выражение: sqrt[5]{ x1x2x3x4x5} * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения минимального значения этого выражения необходимо использовать неравенство о средних.
Между геометрическим и гармоническим средним существует неравенство:
n-ой степени из произведения чисел всегда больше или равна их среднему гармоническому.
То есть (x1x2x3x4x5)^(1/5) ≥ 5/(1/x1 + 1/x2 + 1/x3 + 1/x4 + 1/x5)

Затем подставляем это выражение в исходное:
(sqrt[5]{ x1x2x3x4x5}) * (1/x1 +1/x2 +1/x3 +1/x4+ 1/x5) ≥ 5

Минимальное значение нарушится при равенстве, то есть рассматриваемые числа должны быть равными.
Когда x1=x2=x3=x4=x5=1
тогда (sqrt[5]{ 11111}) (1 + 1 + 1 + 1 + 1) = (1) (5) = 5

Наименьшее значение выражения равно 5.