1) В прямоугольной трапеции АВСД стороны АД и ВС являются основаниями. Угол А прямой. Большая из диагоналей равна 50. АД = 40. Найдите СД, если известно, что АВ = ВС 2) Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АС описана окружность. Найдите площадь треугольника АВС, если основание равно 12, а радиус описанной окружности равен 10 3) В треугольнике АВС проведена прямая МК параллельно стороне АС. М лежит на АВ, К лежит на ВС. МВ = 8, ВК = 9, МК = 10. ВМ : АМ = 1 : 3 • Докажите, что треугольники АВС и ВМК подобны • Найдите площадь ВМК • Найдите площадь АВС 4) В параллелограмме АВСД проведена биссектриса угла А, и она пересекает сторону ВС в точке О. АВ = 5. Треугольник ОСД прямоугольный. Угол СОД равен 30 градусам. Найдите площадь АВСД 5) Дан квадрат АВСД со стороной, равной а. На стороне СД взята точка Т так, что СТ : ТД = 3 : 1. Прямая АТ пересекает сторону ВС в точке К. Сравните площадь квадрата АВСД и площадь треугольника СДК

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Из условия прямоугольной трапеции следует, что диагонали перпендикулярны и пересекаются в точке, деля ее пополам. Таким образом, CD = 50/2 = 25. Из подобия треугольников можно найти SD:CD = AD:AB, откуда SD = AD CD / AB = 40 25 / 50 = 20.

2) Обозначим вершину треугольника как D. Так как треугольник равнобедренный, то высота проходит через вершину и делит основание пополам. Значит, AD = DC = 6. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACD с катетами AD и DC и гипотенузой AC имеем AC = √(AD^2 + DC^2) = √(6^2 + 6^2) = √72. Теперь можем найти площадь равнобедренного треугольника ABC: S = 1/2 AC DC = 1/2 √72 6 = 6√2.

3) Треугольники АВС и ВМК подобны по условию равенства углов и пропорциональности сторон. Следовательно, отношение сторон ВМ и АМ будет равно 1:3, так как Б. Для нахождения площади треугольника ВМК можно воспользоваться формулой Герона: S = √p(p-a)(p-b)(p-c), где p = (а+б+с)/2 - полупериметр треугольника. Получаем p = (8+9+10)/2 = 13. S = √13 5 4 3 = √780. Площадь треугольника АВС равна S = S(АВК) + S(ВМК) = 1/2 8 * 5 + √780 = 20 + √780.

4) Из прямоугольности треугольника ОСД следует, что он является прямоугольным треугольником с гипотенузой ОD и катетами ОC и OD. Учитывая, что угол COD = 30 градусов, то (\sin{COD} = \frac{OD}{CD} = \frac{OD}{OD + AO}), откуда (\frac{1}{2} = \frac{OD}{OD+5}), и после преобразований находим OD = 5. Теперь можем найти площадь параллелограмма: S = AO OD = 5 5 = 25.

5) Площадь треугольника SDK равна (S{\Delta SDK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3a}{4} \cdot a = \frac{3}{8}a^2) и площадь квадрата ASDC равна (S{ABCD} = a^2). Сравнивая два значения, получаем, что (S{\Delta SDK} = \frac{3}{8}a^2 < a^2 = S{ABCD}). Таким образом, площадь квадрата больше площади треугольника.