Построить график y=(1-2x^3)/x^2 Определите возрастание и убывание функции и начертите асимптоты

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график данной функции y=(1-2x^3)/x^2. Для этого мы можем использовать любой графический программный инструмент или онлайн генератор графиков.

Сначала определим, что функция имеет разрыв в точке x=0, так как знаменатель x^2 обращается в нуль при x=0. Однако, функция кроме этого разрыва непрерывна и определена для всех других значений x.

Теперь определим возрастание и убывание функции. Для этого найдем производную функции y'(x) и проанализируем ее знаки:

y=(1-2x^3)/x^2
y' = (d((1-2x^3)/x^2))/dx
y' = ((-6x^2 -2)/x^2)

Для того, чтобы найти точки возрастания и убывания функции, приравняем производную к нулю:

((-6x^2 -2)/x^2) = 0
-6x^2 - 2 = 0
-6x^2 = 2
x^2 = -2/6
x^2 = -1/3
x = ± √(-1/3)

Из этого следует, что функция возрастает на интервалах (-∞, - √(-1/3)) и (√(-1/3), +∞) и убывает на интервале (-√(-1/3), √(-1/3)).

Теперь начертим асимптоты. Поскольку на x=0 функция имеет вертикальную асимптоту (разрыв), мы можем предположить, что у нее также есть горизонтальная асимптота. Для того чтобы найти горизонтальную асимптоту, проанализируем поведение функции при x -> ±∞:

lim(x->±∞) (1-2x^3)/x^2 = lim(x->±∞) (1 - 2/x)/x = lim(x->±∞) 0 = 0

Таким образом, мы видим, что у функции y=(1-2x^3)/x^2 горизонтальная асимптота y=0.

На графике функции мы увидим, что функция пересекает ось x в точке x=0, возрастает при x -> ±∞ и убывает при x -> -∞ до 0. Асимптоты функции будут выглядеть как горизонтальная прямая y=0 и вертикальная прямая x=0.