Дифференциальные уравнения второго порядка x*y''=y'

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения требуется найти функцию (y(x)), которая удовлетворяет данному уравнению.

Чтобы свести данное уравнение к более простому виду, давайте введем замену: (y'=p). Тогда (y''=\frac{dp}{dx}).

Подставим эти выражения в исходное уравнение: (xy''=y' \Rightarrow x\frac{dp}{dx}=p).

Теперь представим уравнение в виде дифференциального уравнения относительно (p): (x\frac{dp}{dx}=p \Rightarrow \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}).

Интегрируя обе стороны уравнения, получаем: (\ln|p|=\ln|x|+C), где (C) - константа интегрирования.

Теперь найдем выражение для (y), используя исходную замену (y'=p):

(\ln|y'|=\ln|x|+C \Rightarrow |y'|=Cx \Rightarrow y'=\pm Cx).

Интегрируя это уравнение, получим: (y=\pm\frac{C}{2}x^2+D), где (D) - другая константа интегрирования.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка: (y=\pm\frac{C}{2}x^2+D), где (C) и (D) - константы.