Докажите, что полная поверхность цилиндра образованного вращением квадрата вокруг одной из его сторон, равновелика поверхности шара, радиус которой равен стороне квадрата.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Полная поверхность цилиндра можно найти по формуле S = 2пR^2 + 2пRh, где R - радиус основания цилиндра (равен стороне квадрата), h - высота цилиндра (равна стороне квадрата).

Тогда S = 2п(R^2 + Rh) = 2пR(R + h).

Полная поверхность шара равна S = 4пR^2 (где R - радиус шара, равен стороне квадрата).

Проведем параллели к сторонам квадрата, проходящие через ее центр. Получим 4 равных прямоугольных треугольника. Если соединить катеты с точкой на гипотенузе, описанной вокруг круг, то мы получим равнобедренные треугольники. Гипотенуза любого из таких треугольников равна стороне квадрата.

Теперь можно сказать, что сторона квадрата равна радиусу шара, а высота цилиндра равна стороне квадрата. Подставляем в формулы:

S цилиндра = 2пR(R + h) = 2пR(R + R) = 4пR^2 = S шара.

Получили, что площади полных поверхностей цилиндра и шара равны при равенстве стороны квадрата и радиуса шара. Таким образом, полные поверхности цилиндра и шара радиуса, равного стороне квадрата, равновелики.