Я не понимаю как решить задачку. Нужна помощь: Как доказать, что 7*7^2n + 2*4^n при n - натуральном всегда делиться на 3?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что выражение (7 \cdot 7^{2n} + 2 \cdot 4^n) всегда делится на 3 при (n) - натуральном числе, можно воспользоваться методом математической индукции.

351 делится на 3.

Предположение индукции:
Предположим, что для произвольного натурального числа k, (7 \cdot 7^{2k} + 2 \cdot 4^k) делится на 3.

Индукционный переход:
Докажем, что выражение также делится на 3 при (n = k+1):

(7 \cdot 7^{2(k+1)} + 2 \cdot 4^{k+1} = 7 \cdot 7^{2k+2} + 2 \cdot 4 \cdot 4^k = 7 \cdot 7^{2k} \cdot 49 + 8 \cdot 4^k).

Так как по предположению индукции (7 \cdot 7^{2k} + 2 \cdot 4^k) делится на 3, то можно записать:

(7 \cdot 7^{2k} + 2 \cdot 4^k = 3m), где m - целое число.

Тогда выражение можно переписать:

(7 \cdot 7^{2k} \cdot 49 + 8 \cdot 4^k = 3 \cdot 49m + 3 \cdot 2 \cdot 4^k = 3(49m + 2 \cdot 4^k)).

Таким образом, получаем, что выражение при (n = k+1) делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что выражение (7 \cdot 7^{2n} + 2 \cdot 4^n) всегда делится на 3 при (n) - натуральном числе.