Матан. Доказать сходимость и найти значение несобственных интегралов Интеграл от 1 до 2 x*dx / √(x-1) \
Доказать сходимость и найти значение несобственных интегралов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства сходимости интеграла от 1 до 2 x*dx / √(x-1) необходимо исследовать поведение выражения под знаком интеграла на всем промежутке [1, 2].

При x=1 выражение под знаком интеграла становится неопределенным, так как знаменатель обращается в ноль. Однако, при x=2 функция становится ограниченной и ограниченной, следовательно, интеграл сходится на промежутке [1, 2].

Чтобы найти значение интеграла, выполним замену переменной:
y = x - 1
dy = dx

Интеграл примет вид:
∫(1,2) xdx / √(x-1) = ∫(0,1) (y+1)dy / √y = ∫(0,1) (y^(1/2) + y^(-1/2)) dy = [2/3y^(3/2) + 2y^(1/2)] (0,1) = 2/3 + 2 = 8/3

Таким образом, значение несобственного интеграла от 1 до 2 x*dx / √(x-1) равно 8/3, а интеграл сходится.