В треугольнике АВС проведена средняя линия MN, параллельная АС. Окружность, проходящая через точки M, N и C, касается стороны АВ, а ее радиус равен R=√2. Найдите синус угла АСВ, если АС=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения окружности с стороной AB как P, а точку пересечения MN с AB как Q.

Так как MN - средняя линия в треугольнике ABC, то MQ = NC = AC/2 = 1.

Также MQ = R = √2.

Поскольку NPQ и MNC подобны, то NP/MC = PQ/NC.

NP/MC = (2R - R)/R = 1.

Поскольку треугольники APC и NPB подобны, то PB/PC = NB/AC.

PB/PC = MB/MC = R/MC = √2.

PB = √2*PC.

По теореме синусов в треугольнике CPB: sin(∠CBP) = CP*sin(∠PCB) / R.

CP = √(√2)^2 - 1^2 = √(2-1) = 1.

sin(∠CBP) = 1 sin(∠PCB) / R = 1 1/√2 = 1/√2.

Таким образом, sin(∠CBP) = 1/√2.

Угол ACB равен ∠CBP, так как прямая CM и отрезок AB - это касательная и секущая, опущенные из точки C. Следовательно, sin(∠ACB) = sin(∠CBP) = 1/√2.

Ответ: sin(∠ACB) = 1/√2.