У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стену равен μ1 = 0,4, коэффициент трения лестницы о землю равен μ2 = 0,5. Центр тяжести лестницы находится в ее середине. а) Определить наимень- ший угол ϕ, который лестница может образовать с горизонталью, не падая.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

При анализе данной задачи нужно учесть равновесие моментов относительно точки опоры лестницы.

Пусть действующая сила трения со стеной равна F1, а сила трения с землей равна F2. Также пусть сила тяжести лестницы равна mg, где m - масса лестницы, g - ускорение свободного падения.

Так как лестница находится в равновесии, то моменты этих сил должны компенсировать друг друга. Так как лестница имеет длину L, то момент силы F1 равен F1(L/2)sin(ϕ), момент силы F2 равен F2(L/2)cos(ϕ), а момент силы тяжести равен mg(L/2)cos(ϕ).

Условие равновесия моментов позволяет нам записать следующее уравнение:

F1(L/2)sin(ϕ) = F2(L/2)cos(ϕ) + mg(L/2)cos(ϕ)

Далее, используя коэффициенты трения и связь сил трения с нормальными реакциями (F1 = μ1N, F2 = μ2N), получаем:

μ1mgsin(ϕ) = μ2mgcos(ϕ) + mgcos(ϕ)

Делим обе части уравнения на m*g и упрощаем:

μ1sin(ϕ) = μ2cos(ϕ) + cos(ϕ)

Далее, подставляем значения коэффициентов трения:

0.4sin(ϕ) = 0.5cos(ϕ) + cos(ϕ)

0.4sin(ϕ) = 0.5cos(ϕ) + 0.5*cos(ϕ)

0.4*sin(ϕ) = cos(ϕ)

0.4 = tan(ϕ)

Из последнего равенства мы можем найти угол ϕ:

ϕ = arctan(0.4) ≈ 21,8 градусов

Таким образом, наименьший угол ϕ, который лестница может образовать с горизонталью, не падая, равен примерно 21,8 градусов.