При каком радиусе шарообразной капли жидкости потенциальная энергия, связанная с натяжением поверхностного слоя, равна потенциальной энергии притяжения к земле?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Потенциальная энергия, связанная с натяжением поверхностного слоя капли жидкости, определяется формулой:

[ U_{\text{нат}} = \sigma \cdot A ]

где ( \sigma ) - коэффициент поверхностного натяжения, а ( A ) - площадь поверхности капли. Потенциальная энергия притяжения к земле определяется формулой:

[ U = m \cdot g \cdot h ]

где ( m ) - масса капли, ( g ) - ускорение свободного падения, ( h ) - высота, на которую капля поднялась.

Для того чтобы потенциальные энергии были равны, необходимо, чтобы ( U_{\text{нат}} = U ). Следовательно,

[ \sigma \cdot A = m \cdot g \cdot h ]

Так как масса ( m ) равна ( \rho \cdot V ), где ( \rho ) - плотность жидкости, а ( V ) - объем капли (зависит от радиуса), то уравнение можно переписать в виде:

[ \sigma \cdot 4\pi r^2 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot g \cdot h ]

Учитывая, что ( h ) равно высоте, на которую капля поднялась, можно подставить выражение для ( h = \frac{\sigma}{\rho \cdot g \cdot r} ).

Таким образом, радиус капли, при котором потенциальная энергия, связанная с натяжением поверхностного слоя, равна потенциальной энергии притяжения к земле, равен ( r = \frac{\sigma}{\rho \cdot g} ).