Длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно черного тела, уменьшилась в три раза при увеличении его температуры от T1 до T2. Определить, во сколько раз и как изменится площадь, ограниченная графиком функции спектральной излучательной способности тела от длины волны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Длина волны, на которую приходится максимум излучательной способности абсолютно черного тела, определяется по закону Вина:
λ_maxT = const

Учитывая условие задачи, получаем:
λ_maxT1 = const
λ_maxT2 = const/3

Таким образом, отношение температур:
T2/T1 = 3

Площадь, ограниченная графиком функции спектральной излучательной способности тела от длины волны, определяется интегралом от функции излучательной способности по всем длинам волн.

Пусть S1 - площадь при температуре T1, S2 - при температуре T2.

Тогда соотношение площадей:
S2/S1 = ∫B(λ, T2)dλ / ∫B(λ, T1)dλ

Используя закон Вина, можно выразить B(λ, T) через λ:
B(λ, T) = k/λ^5 * 1/(e^(hc/λkT)-1)

где k - постоянная Стефана-Больцмана, h - постоянная Планка, c - скорость света.

Подставляя выражение B(λ, T) в интеграл, получим:
∫(k/λ^5 1/(e^(hc/λkT2)-1))dλ / ∫(k/λ^5 1/(e^(hc/λkT1)-1))dλ

Сделаем замену переменных и сделаем отдельные интегралы:

Перейдем к переменной x = hc/λk (dx = -hc/λ^2dk)Тогда первый интеграл будет равен:
-∫(1/(x^5 * e^x-1))dx от x1 = hc/λ_maxT1k до x2 = hc/λ_maxT2kВторой интеграл будет:
-∫(1/(x^5 * e^x-1))dx от x1 = hc/λ_maxT1k до x2 = hc/λ_maxT2k/3

К сожалению, выражение для интеграла выглядит достаточно сложно, и его точное вычисление может потребоваться численных методов.