Докажите, что если эрмитовы операторы А и В не коммутируют, то их коммутатор [A,B] не является эрмитовым.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением эрмитового оператора.

Оператор называется эрмитовым, если его сопряженный оператор равен самому оператору, то есть A† = A.

Пусть операторы A и B не коммутируют, то есть [A,B] ≠ 0. Тогда рассмотрим сопряженный оператор коммутатора [A,B]:

[A,B]† = B†A† - A†B†

Поскольку операторы A и B не коммутируют, их сопряженные операторы тоже не коммутируют, то есть B†A† ≠ A†B†. Следовательно, [A,B]† ≠ [A,B].

Это означает, что коммутатор [A,B] не является эрмитовым оператором, так как его сопряженный оператор не равен самому себе.

Таким образом, если эрмитовые операторы A и B не коммутируют, то их коммутатор [A,B] также не является эрмитовым.