Отважный мальчик съезжает с горы на санках вниз по склону с углом наклона а = 45°. Какуюмаксимальную скорость Vтах мог он развить, если его масса с санками м = 63 кг? Коэффициенттрения полозьев санок о снег м = 0, 1. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадратускорости: F = kv^2, где k = 0, 9 кг/м. Результат вырази в км/ч и округли до целого.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся вторым законом Ньютона для движения тела по наклонной плоскости:

ΣF = mgsinα - Fтр - Fв = ma

где:
m - масса мальчика с санками,
g - ускорение свободного падения,
α - угол наклона склона,
Fтр - сила трения,
Fв - сила сопротивления воздуха,
a - ускорение мальчика.

Учитывая, что Fтр = μmgcosα, где μ - коэффициент трения тела о склон, сила сопротивления воздуха Fв = kv^2, получаем:

mgsinα - μmgcosα - kv^2 = ma

Преобразуем уравнение:

mgsinα - μmgcosα - kv^2 = mav
mgsinα - μmgcosα = ma(v + kv)
gsinα - μgcosα = a(v + kv)
gsinα - μgcosα = (v + kv)dv/dt
gsinα - μgcosα = vdv/(1 + k)

Интегрируем это уравнение:

∫(1 + k)v dv = ∫gsinα - μgcosα dt
(v + kv^2/2) = gsinαt - μgcosαt + C

Учитывая, что в начальный момент времени скорость мальчика равна 0 и положив константу С равной 0, получаем:

V^2/2 + kV^3/6 = gsinαt - μgcosαt

Подставим известные значения:

V^2/2 + 0,1V^3/6 = 9,8sin45t - 0,1*9,8cos45t
V^2/2 + 0,1V^3/6 = 6,93t - 0,693t
V^2/2 + 0,1V^3/6 = 6,237t

Таким образом, при t = 1 секунде, мы можем рассчитать максимальную скорость Vтах:

V^2/2 + 0,1V^3/6 = 6,237
V^2 + 0,1V^3/3 = 37,422
V^3 + 3V^2 - 112.26 = 0

Применяем численные методы для нахождения корней этого уравнения, и получаем значение V = 5 км/ч (округленно).

Таким образом, максимальная скорость, которую мог развить мальчик на санках, составляет 5 км/ч.