Физика, динамика вращающегося тела Однородный обруч массой 1 кг и радиусом 10 см, вращается вокруг оси, проходящей через его центр со скоростью 10 рад/с. На обруч начинает действовать касательная сила 0,5 Н. Через какое время обруч остановится?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Кинетическая энергия вращающегося объекта связана с его угловой скоростью и моментом инерции следующим образом:

(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} I \omega^2),

где (I) - момент инерции объекта, (\omega) - угловая скорость.

Для однородного обруча момент инерции вокруг его центра равен (I = \frac{1}{2} mR^2), где (m) - масса обруча, (R) - радиус обруча.

Из условия задачи известно, что начинает действовать касательная сила, приводящая к замедлению вращения обруча. Данная сила создает момент силы, приводящий к изменению угловой скорости:

(M = Fr),

где (F) - сила, (r) - радиус обруча.

Момент силы приводит к уменьшению кинетической энергии вращающегося объекта:

(M = \frac{dE_{\text{кин}}}{dt}).

Подставляя все это в формулу для кинетической энергии и дифференцируя по времени, получаем уравнение:

(I \frac{d\omega}{dt} = -Fr),

(I \omega \frac{d\omega}{dt} = -Fr),

(I \omega d\omega = -Fr dt),

(\frac{1}{2} I \omega^2 = -Fr t + C),

(E_{\text{кин}} = -Frt + C).

Из начальных условий известно, что когда (t = 0) кинетическая энергия равна (\frac{1}{2} I \omega^2). Следовательно, (C = \frac{1}{2} I \omega^2).

Подставляя значения и упрощая, получаем:

(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.1^2 \cdot 10^2 = -0.5 \cdot 0.1 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 10^2),

(0.025 = -0.05t + 50),

(0.05t = 50 - 0.025),

(0.05t = 49.975),

(t \approx 999.5) с.

Таким образом, обруч остановится через примерно 999.5 секунд.