Маленький шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити длинной L=1м, выводят из положения равновесия так, что нить составляет малый угол с вертикалью, и отпускают. Через какой промежуток времени угол между нить и вертикалью уменьшится вдвое?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для такой задачи можем воспользоваться формулой для периода крутильных колебаний:

T = 2π√(I/mgh)

где:
T - период колебаний,
I - момент инерции шарика,
m - масса шарика,
g - ускорение свободного падения,
h - расстояние от точки подвеса до центра масс.

Угловое ускорение в этом случае будет равно α = g/L, так как угол малый.
Момент инерции шарика I = (2/5)mR^2, где R - радиус шарика.

Теперь можем записать формулу для периода T:
T = 2π√((2/5)R^2/g)

Пусть в начальный момент шарик находится на угле θ от вертикали. Тогда в какой-то момент времени он будет находиться на угле Φ = θ/2 (так как угол уменьшится вдвое).

Как известно, период колебаний не зависит от амплитуды колебаний, поэтому T = 2π√((2/5)R^2/g) = 2π√((2/5)R^2/g)cos(Φ)

Поскольку cos(Φ) = cos(θ/2) = √((1 + cos(θ))/2), можем выразить период после уменьшения угла вдвое:
T' = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 + cos(θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 + cos(2θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 + cosθ - 2cos^2(θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 + cosθ - 2(1 - sin^2(θ)))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 + cosθ - 2 + 2sin^2(θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((cosθ - 1 + 2sin^2(θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((cosθ - 1 + 2(1 - cos^2(θ)))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((cosθ - 1 + 2 - 2cos^2(θ))/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((2 - 2cos^2(θ) + cosθ - 1)/2) = 2π√((2/5)R^2/g)√((1 - cos^2(θ) + cosθ)/2)

Таким образом, период колебаний после уменьшения угла вдвое равен:
T' = 2π√((1/5)R^2/g)√((1 - cosθ + cosθ)/2) = 2π√((1/5)R^2/g)√(1/2) = π√(2/5)√(R^2/g) = π√(2/5)√((2/5)R^2/g) = πT

Таким образом, период колебаний уменьшится вдвое.