Массивный диск радиусом 1,5 м и массой 100 кг вращается с постоянной частотой 20 об/мин. На диск осторожно опустили груз на расстоянии от центра, равном половине радиуса. Определить линейную скорость груза, если его масса 10 кг.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угловую скорость вращения диска. Для этого воспользуемся формулой:

[\omega = 2\pi \cdot f]

[\omega = 2\pi \cdot 20/60 = \pi/3 рад/с]

Линейная скорость точки на диске на расстоянии r от центра вращения равна произведению угловой скорости на это расстояние. Так как расстояние от центра до груза равно половине радиуса диска, то r = 1,5/2 = 0,75 м.

[v = \omega \cdot r = \pi/3 \cdot 0,75 \approx 0,785 м/с]

Теперь найдем момент импульса каждой из частей системы - диска и груза. Для диска:

[L{disk} = I{disk} \cdot \omega = \frac{1}{2} \cdot m{disk} \cdot r^2 \cdot \omega]
[L{disk} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0,75^2 \cdot \pi/3 = 29,33 кг \cdot м^2/с]

Для груза:

[L{load} = I{load} \cdot \omega = m{load} \cdot r{load} \cdot \omega]
[L_{load} = 10 \cdot 0,75 \cdot \pi/3 = 7,86 кг \cdot м^2/с]

Общий момент импульса системы равен сумме моментов импульса диска и груза:

[L{total} = L{disk} + L{load}]
[L{total} = 29,33 + 7,86 = 37,19 кг \cdot м^2/с]

Из закона сохранения момента импульса следует, что момент импульса до появления груза равен моменту импульса после. Таким образом:

[L{total} = (m{disk} + m{load}) \cdot v{final}]

[v{final} = \frac{L{total}}{m{disk} + m{load}} = \frac{37,19}{100 + 10} \approx 0,34 м/с]

Ответ: Линейная скорость груза при опущении на диск равна 0,34 м/с.