2 дня не могу решить На сторонах АВ и АD квадрата АВСD обозначены точки N и P соответственно таким образом, что PN = NC, точка G – точка на отрезке AN, для которой угол NCB = угол GPN. Докажите, что угол BCG = 1/2 * угол PGA

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим углы: ∠BCG = α, ∠PGA = β.

Так как PN = NC, то ∠PNC = ∠PCN. Также из условия задачи известно, что ∠NCB = ∠GPN.

Теперь рассмотрим треугольники BCG и GNP. Учитывая углы, равные четвертому часть квадрата, имеем:
∠BCG = ∠GPN = ∠NCB,
∠BGC = ∠GNP = 90°.

Таким образом, треугольники BCG и GNP подобны по двум углам, следовательно, отношение их сторон равно:
BC/GN = CG/GP.

Теперь рассмотрим величину:
∠BCG = α = ∠GPN = ∠NCB.

Отсюда получаем, что треугольники GPN и BCD подобны, так как у них равны два угла.

Таким образом, отношение сторон этих треугольников равно:
GN/PN = BC/CD.

С учетом того, что PN = NC:
GN/NC = BC/CD.

Теперь рассмотрим треугольник ANP и параллелограмм APGD. Угол ANP равен углу A, так как NP параллелен BC.
Также имеем, что:
∠PGA = 180° - ∠APG - ∠PGA = 180° - α - β.

Тогда:
∠BAG = α + β.

Поскольку ∠ACD = 90° и получаем:
∠AGP = ∠ADC = 90°.

Из этих равенств следует:
∠BAG = α + β = ∠AGP + ∠PGA = 180° - α - β + 90°.

Откуда получаем:
2α + 2β = 270°,
α + β = 135°.

Следовательно:
β = 135° - α.

Таким образом, угол BCG равен половине угла PGA.