Олимпиада по физике Брусок в форме прямоугольного параллелепипеда лежит на дне цилиндрического сосуда, стенки которого вертикальны. Площадь грани, на которую опирается брусок, в 4 раза меньше площади дна сосуда. В сосуд налита жидкость, так что 1/10 часть объема бруска находится под поверхностью жидкости. Известно, что брусок давит на дно с силой 20 Н. Какую минимальную массу жидкости надо добавить в сосуд, чтобы брусок перестал давить на дно? Ответ выразите в кг, округлив до десятых. Считайте, что верхняя грань бруска всё время параллельна дну. Плотность бруска в 2 раза меньше плотности жидкости. Ускорение свободного падения примите равным g=10 Н/кг.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть масса бруска равна m, плотность бруска равна ρ_б, плотность жидкости равна ρ_ж, высота бруска h, длина бруска l, ширина бруска w.

Так как площадь грани, на которую опирается брусок, в 4 раза меньше площади дна сосуда, то имеем:
2lw = 4πr^2, где r - радиус дна сосуда.

Также мы знаем, что 1/10 объема бруска находится под поверхностью жидкости. Следовательно:
0.1lw*h = V_ж, где V_ж - объем жидкости, добавленной в сосуд.

Из условия задачи видно, что брусок находится в равновесии при давлении, равном 20 Н на дно. Давление на дно бруска равно P_д = mg/A, где A - площадь дна бруска. Давление жидкости на дно сосуда равно P_ж = ρ_жg*h.

Таким образом, уравнение равновесия будет:
P_д = P_ж,
mg/A = ρ_жg*h.

Тогда m = ρ_бlwh и A = lw. Подставив это в уравнение равновесия, получим:
ρ_б = ρ_ж*h.

Также, из условия задачи следует, что ρ_б = 0.5*ρ_ж и ρ_ж = m/V_ж.

Подставим все выражения и условия в уравнение равновесия:
0.5*m/V_ж = h.

Также нам известно, что V_ж = πr^2h. Подставляем это в уравнение:
0.5m/(πr^2h) = h,
m = 0.5π*r^2.

Тогда минимальную массу жидкости можно найти из уравнений:
m = 0.5πr^2,
V_ж = πr^2h,
V_ж = 0.1lwh.

Имеем систему уравнений, из которой можно найти r, h и V_ж:
r = √(2lw/π),
h = V_ж/πr^2,
V_ж = 0.1lw*h.

Подставляем найденные значения r и h в уравнение V_ж = 0.1lwh:
0.1lw(V_ж/π*r^2) = V_ж.

Теперь можем найти минимальную массу жидкости:
m_мин = 0.5π(√(2lw/π))^2.

Решив данное уравнение, получим ответ:
m_мин = 0.5π(√(2lw/π))^2 = 0.5π(√(2*4π))^2 = 4.5 кг (округлено до десятых).