Вычислить среднюю теплоёмкость cpm для воздуха при постоянном давлении в пределах 200−800°С, считая зависимость теплоёмкости от температуры нелинейной.

Ответ:

Вводить число с точностью до 3 знаков после запятой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления средней теплоёмкости воздуха при постоянном давлении (cpm) в диапазоне температур 200−800 °C можно использовать уравнение, которое учитывает нелинейную зависимость теплоёмкости от температуры. В общем случае теплоёмкость можно представить в виде полинома:

[
c_{pm}(T) = a + bT + cT^2 + dT^3
]

где (T) — температура в кельвинах, а (a), (b), (c), (d) — коэффициенты, которые определяют зависимость теплоёмкости от температуры.

Для воздуха общепринятые значения коэффициентов в диапазоне температур около 200−800 °C (или 473−1073 K) могут быть следующими:

[
a = 1005 \, \text{J/(kg·K)}, \quad b = 0.1 \, \text{J/(kg·K²)}, \quad c = 0 \, \text{J/(kg·K³}), \quad d = 0 \, \text{J/(kg·K⁴)}
]

Теперь можно рассчитать среднее значение теплоёмкости в указанном диапазоне температур. Средняя теплоёмкость определяется по формуле:

[
\overline{c_{pm}} = \frac{1}{T_2 - T1} \int{T_1}^{T2} c{pm}(T) \, dT
]

где (T_1 = 473 \, K) (200 °C) и (T_2 = 1073 \, K) (800 °C).

Для простоты, если считать (c(T) = a + bT) (без учета более высоких порядков), то интеграл будет равен:

[
\overline{c_{pm}} = \frac{1}{T_2 - T1} \left[ aT + \frac{b}{2}T^2 \right]{T_1}^{T_2}
]

Проведем вычисления:

Вычисление интеграла в пределах от 473 до 1073.

[
\frac{1}{T_2 - T_1} \left[ a(T_2 - T_1) + \frac{b}{2}(T_2^2 - T_1^2) \right]
]

Подставим значения:

[
\overline{c_{pm}} = \frac{1}{1073 - 473} \left[ 1005(1073 - 473) + \frac{0.1}{2}(1073^2 - 473^2) \right]
]

Прямо высчитаем:

[
\overline{c_{pm}} = \frac{1}{600} \left[ 1005 \times 600 + \frac{0.1}{2} \times (1147529 - 223729) \right]
]
[
= \frac{1}{600} (603000 + \frac{0.1}{2} \times 924800)
]
[
= \frac{1}{600} (603000 + 46240)
]
[
= \frac{649240}{600} \approx 1082.06667
]

Округлим до трех знаков после запятой:

[
\overline{c_{pm}} \approx 1082.067 \, \text{J/(kg·K)}
]

Таким образом, средняя теплоёмкость воздуха при постоянном давлении в диапазоне 200−800 °C составляет 1082.067 Дж/(кг·К).