Физика 1 курс, задача Небольшое тело пустили вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α = 20° с горизонтом. Найти коэффициент трения, если время подъема тела оказалось в 2,5 раза меньше времени спуска.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи используем законы механики и уравнения движения. Пусть ( t_1 ) — время подъема, а ( t_2 ) — время спуска. По условию задачи известно, что ( t_1 = \frac{1}{2.5} \cdot t_2 ) или ( t_2 = 2.5 \cdot t_1 ).

Обозначим ускорение при подъеме как ( a_1 ) и при спуске как ( a_2 ).

Для подъема:

[
s = v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2
]

Для спуска:

[
s = v_0 t_2 + \frac{1}{2} a_2 t_2^2
]

где ( s ) — расстояние по наклонной плоскости, ( v_0 ) — начальная скорость, ( a_1 ) и ( a_2 ) — ускорения при подъеме и спуске соответственно.

Ускорение тела при подъеме (вверх по наклону):

[
a_1 = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha)
]

Ускорение тела при спуске (вниз по наклону):

[
a_2 = g \sin(\alpha) + \mu g \cos(\alpha)
]

где ( g ) — ускорение свободного падения, ( \mu ) — коэффициент трения, ( \alpha ) — угол наклона.

Из уравнения времени мы можем выразить ( t_2 ):

[
t_2 = 2.5 \cdot t_1
]

Теперь подставим это значение в уравнение для расстояния при спуске:

[
s = v_0 (2.5 t_1) + \frac{1}{2} a_2 (2.5 t_1)^2
]

Присоединим это уравнение к уравнению для подъема:

[
v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 2.5 v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_2 (2.5 t_1)^2
]

Домножим всё уравнение на 2 для удобства:

[
2(v_0 t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2) = 5 v_0 t_1 + 6.25 a_2 t_1^2
]

Сокращаем ( t_1 ), если оно не ноль:

[
2v_0 + a_1 t_1 = 5v_0 + 6.25 a_2 t_1
]

Перепишем уравнение, выражая ( a_1 ) и ( a_2 ):

[
a_1 t_1 - 6.25 a_2 t_1 = 3v_0
]
[
a_1 - 6.25 a_2 = \frac{3v_0}{t_1}
]

Подставляем в уравнения для ускорений ( a_1 ) и ( a_2 ) их выражения через ( \mu ):

[
g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) - 6.25(g \sin(\alpha) + \mu g \cos(\alpha)) = \frac{3v_0}{t_1}
]

Упрощаем и решаем это уравнение для ( \mu ):

[
g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) - 6.25g \sin(\alpha) - 6.25 \mu g \cos(\alpha) = \frac{3v_0}{t_1}
]

После преобразований:

[
\sin(\alpha)(1 - 6.25) + \mu \cos(\alpha)(-1 - 6.25) = \frac{3v_0}{gt_1}
]

Далее подставляя значения ( \alpha = 20^\circ ), эквивалентные значения с учетом ( g ), найдем ( \mu ).

Решение данной задачи может потребовать численного подхода (в зависимости от ( v_0 ) и ( t_1 )). В общем случае, можно упростить подстановки и получить результат для поиска ( \mu ) через фиксированные значения.

В процессе анализа у вас может выйти конкретное значение для ( \mu ). Обычно, для таких задач величина коэффициента трения может находиться в пределах от 0.1 до 0.5 при реальных условиях физики. Поэтому ответ: ценой практического эксперимента, либо учитывая все деления, следует взять стабильное значение, откалиброванное под условиях ваших погрешностей.