Докажите, что для пружинного маятника [tex] T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} [/tex], а для математического - [tex] T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем формулу для пружинного маятника, где m - масса грузика, k - коэффициент упругости пружины.

Уравнение движения пружинного маятника можно записать как:

[tex] F = ma = kx [/tex],

где F - сила упругости пружины, x - смещение от положения равновесия. Данное уравнение можно переписать в виде:

[tex] m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx [/tex].

Подставим общее решение x(t) = A * cos(ωt + φ):

[tex] \frac{d^2}{dt^2}(A cos(ωt + φ) ) = -\frac{k}{m} A cos(ωt + φ) = -\omega^2 A cos(ωt + φ) [/tex],

где ω - угловая частота, равная 2πf. Отсюда следует:

[tex] -\omega^2 = -\frac{k}{m} [/tex],

[tex] T = \frac{2π}{\omega} = 2π \sqrt{\frac{m}{k}} [/tex].

Теперь докажем формулу для математического маятника, где l - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Для математического маятника можно написать уравнение движения:

[tex] -mgl sin θ = I \cdot \ddot{θ} [/tex],

где θ - угол отклонения от вертикали, I - момент инерции грузика. После упрощения уравнения получим:

[tex] \ddot{θ} + \frac{mgl}{I} sin θ = 0 [/tex].

Пусть θ(t) = A sin(ωt + φ), где ω - угловая скорость. Тогда:

[tex] \frac{d^2}{dt^2}(A sin(ωt + φ)) + \frac{mgl}{I} sin(A sin(ωt + φ)) = 0 [/tex],

[tex] -A \omega^2 sin(ωt + φ) + \frac{mgl}{I} A sin(A sin(ωt + φ)) = 0 [/tex].

Отсюда следует:

[tex] -\omega^2 = \frac{mgl}{I} [/tex],

[tex] T = \frac{2π}{\omega} = 2π \sqrt{\frac{l}{g}} [/tex].

Таким образом, формулы для периодов пружинного и математического маятников доказаны.