Тонкое резиновое кольцо жесткостью k и массой m, лежащее на горизонтальной поверхности, начинают медленно раскручивать вокруг его оси. При какой угловой скорости длина кольца увеличится вдвое? При какой угловой скорости кольцо обязательно разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до момента разрыва кольца.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения угловой скорости, при которой длина кольца увеличится вдвое, будем использовать закон сохранения момента импульса.

Момент инерции кольца равен I = 1/2 m R^2, где R - радиус кольца.

Момент импульса кольца L = I * ω, где ω - угловая скорость кольца.

Из условия удвоения длины кольца получим, что L' = I 2ω = 2 I * ω, где L' - момент импульса после удвоения длины.

Тогда получаем, что 2 I ω = I * ω, откуда следует, что угловая скорость после удвоения длины кольца равна ω.

Теперь найдем угловую скорость, при которой кольцо разорвется. Для этого используем закон Гука:

F = -k * δ, где F - сила, действующая на кольцо, δ - удлинение кольца под действием кручения.

Максимальная сила, которую может выдержать кольцо, равна F_max = k * δ_max, где δ_max - максимальное удлинение, которое может выдержать кольцо.

Максимальная сила, которую может выдержать кольцо, равна центростремительной силе, действующей на кольцо: F_max = m R ω^2.

Отсюда получаем, что m R ω^2 = k δ_max, откуда δ_max = m R / k.

Таким образом, кольцо разорвется при угловой скорости, при которой удлинение кольца равно максимальному удлинению: ω = m * R / k.