Материальная точка совершает колебания по закону x =x0 sin(2πt +π/6) см. В какой момент времени ее потенциальная энергия равна кинетической?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим выражения для потенциальной и кинетической энергии.

Потенциальная энергия материальной точки равна:

П = mgh,

где m - масса материальной точки, g - ускорение свободного падения, h - высота.

В данном случае, учитывая, что точка осуществляет гармонические колебания, потенциальная энергия будет равна:

P = mgh = mω²x²/2,

где ω - круговая частота, x - амплитуда колебаний.

Кинетическая энергия материальной точки равна:

K = mv²/2.

Так как полная энергия (сумма потенциальной и кинетической) является постоянной величиной, то в момент времени, когда потенциальная и кинетическая энергии равны, справедливо:

P = K.

mω²x²/2 = mv²/2.

mω²x² = mv².

ω²x² = v².

Поскольку v = ωx0cos(2πt+π/6), то v = ωx0, так как cos(2πt+π/6) = 1 в момент времени, когда потенциальная и кинетическая энергии равны.

Таким образом, в момент времени, когда потенциальная энергия становится равной кинетической, скорость точки равна 1.

Амплитуда колебаний x0 = v0/ω, где v0 - амплитуда скорости, ω - частота.

В данной задаче ω = 2π и x0 = v0/2π.

Таким образом, для нахождения момента времени, когда потенциальная энергия равна кинетической и скорость равна амплитуде, нужно решить уравнение x = v0/2π*sin(2πt+π/6) = v0/2π:

sin(2πt + π/6) = 1,

2πt + π/6 = π/2 + 2πk,

где k - целое число.

2πt = π/3 + 2πk,

t = 1/6 + k.

Итак, в момент времени t = 1/6 секунды потенциальная энергия материальной точки равна кинетической.