Котушка з ниткою котиться поверхнею книжки без проковзування (див. рис.). Нитку тягнуть зі швидкістю υ1=2 см/с в один бік, а книжку – зі швидкістю υ2=3 см/с в інший бік. У якому напрямку із якою швидкістю переміщується центр котушки? r=3 см, R=7 cм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Передбачимо, що центр котушки переміщується вгору. Тоді її швидкість можна знайти за допомогою формули складених швидкостей:

V = V1 + V2

де V1 - швидкість, з якою котушка котиться поверхнею книжки, V2 - швидкість, з якою котушка рухається вгору.

V1 = r * ω,

де ω - кутова швидкість котушки. Цю швидкість можна знайти, взявши похідну від кута, який просунулася:

ω = dθ/dt

dθ = r/R * dx,

де dx - відстань, яку просунулася нитка.

Запишемо рівняння для dθ:

r/R dx = r dθ

dx = R * dθ

Знаємо, що dx = r ω dt,

отже:

R dθ = r ω * dt

dt = (R/r) * dθ/ω

Підставляючи це в рівняння для кутової швидкості, отримаємо:

ω = r/R * V1,

V1 = r r/R V1 = r^2/R * V1

V2 = dR/dt = 2 см/с

Тепер можна записати рівняння для V:

V = V1 + V2 = r^2/R * V1 + V2

Підставляючи відомі значення, отримуємо:

V = (3^2/7) * 2 + 2 = 2,57 см/с

Отже, центр котушки рухається вгору зі швидкістю 2,57 см/с.