Скорость течения жидкости зависит от расстояния r до оси трубки по закону v = v0 (1 — r2/R2). Как вывести эту формулу?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вывода этой формулы можно использовать уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости. Уравнение Бернулли выражается следующим образом:

p + 0.5pv^2 + pgh = const,

где p - давление жидкости, v - скорость течения жидкости, h - высота жидкости над уровнем нулевой потенциальной энергии, const - постоянная.

При течении жидкости в трубке считаем, что давление изменяется незначительно, гидростатическое давление можно принять как постоянное. Также предполагаем, что высота жидкости над уровнем нулевой энергии не изменяется.

Тогда уравнение Бернулли примет вид:

p + 0.5pv^2 = const.

Подставим в это уравнение выражение для скорости течения v = v0 (1 — r2/R2):

p + 0.5p(v0 (1 — r2/R2))^2 = const.

Здесь p - плотность жидкости, v0 - скорость течения в центре трубки, R - радиус трубки.

После того, как мы учли, что плотность и постоянная не изменяются с изменением радиуса трубки, мы можем упростить это уравнение до вида:

1 + 0.5(1 — r2/R2)^2 = const.

Раскрывая скобки, мы получим:

1 + 0.5(1 - 2r2/R2 + r4/R4) = const,
1 + 0.5 - r2/R2 + 0.5r4/R4 = const,
1.5 - r2/R2 + 0.5r4/R4 = const.

Это и есть вывод формулы v = v0 (1 — r2/R2) для скорости течения жидкости в трубке в зависимости от расстояния r до оси трубки.