Частица массой m несущая заряд q может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса r. частица массой m несущая заряд q может двигаться в поле тяжести по вертикальной окружности радиуса r. в нижней части окружности закреплен заряд q. составьте функцию Лангранжа и уравнение Лангранжа для данной системы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для данной системы составим функцию Лагранжа. Пусть угол между вертикалью и вектором радиуса окружности в нижней точке равен θ, тогда координаты частицы можно представить в полярной системе координат как x = rsin(θ) и y = r(1-cos(θ)).

Кинетическая энергия частицы:
T = (1/2)m((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) = (1/2)mr^2(θ_dot^2 + sin^2(θ)θ_dot^2)

Потенциальная энергия частицы из-за гравитации на высоте y:
U = mgr*(1-cos(θ))

Потенциальная энергия частицы из-за взаимодействия с зарядом на дне окружности:
U_эл = k*q^2 / r

Тогда функция Лагранжа будет:
L = T - U - U_эл = (1/2)mr^2(θ_dot^2 + sin^2(θ)θ_dot^2) - mgr(1-cos(θ)) - kq^2 / r

Уравнение Лагранжа:
d/dt(dL/dθ_dot) - dL/dθ = 0

где d/dt(dL/dθ_dot) = d/dt(mr^2θ_dot) + d/dt(mr^2sin^2(θ)θ_dot) = 0
и dL/dθ = mr^2(sin(2θ)θ_dot^2) + mgrsin(θ) + kq^2*sin(θ) / r^2

Таким образом, уравнение Лагранжа для данной системы будет:
mr^2(sin(2θ)θ_dot^2) + mgrsin(θ) + kq^2sin(θ) / r^2 = 0