Груз массой 200 г, подвешенный к пружине, совершил 30 колебаний за 1 мин после того, как его сместили от положения равновесия. Определите жесткость пружины, составьте уравнение колебаний, если амплитуда колебаний 10 см, начальную фазу колебаний принять равной нулю. Построить график колебаний, найти полную энергию системы, кинетическую и потенциальную энергию при t=T/8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для периода колебаний:
T = 60 с / n,
где n - количество колебаний за 1 минуту.

Жесткость пружины определяется как:
k = (m * (2π / T)^2) / A,
где m - масса груза, A - амплитуда колебаний.

Подставляем известные значения:
m = 0.2 кг, n = 30, A = 0.1 м.

T = 60 / 30 = 2 с.
k = (0.2 * (2π / 2)^2 ) / 0.1 = 15.7 Н/м.

Уравнение колебаний имеет вид:
x(t) = A cos(2π t / T),

где начальную фазу принимаем равной нулю.

Построим график колебаний:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
T = 2
A = 0.1
t = np.linspace(0, T, 100)
x = A * np.cos(2 * np.pi * t / T)
plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Displacement (m)')
plt.title('Oscillation of the mass')
plt.grid()
plt.show()

Полная энергия системы выражается как:
E = 1/2 k A^2,
где k - жесткость пружины, A - амплитуда колебаний.

Подставляем значения:
E = 1/2 15.7 0.1^2 = 0.0785 Дж.

Кинетическая энергия выражается как:
Ek = 1/2 m (2π / T)^2 A^2 sin^2(2πt / T),
Потенциальная энергия выражается как:
Ep = 1/2 k x^2,
где x - текущее смещение.

Найдем значения кинетической и потенциальной энергии при t = T/8:
t = T/8 = 1/4 с.

t = 1 / 4
Ek = 0.5 * 0.2 * (2 * np.pi / T)**2 * A**2 * np.sin(2 * np.pi * t / T)**2
Ep = 0.5 * k * A**2 * np.cos(2 * np.pi * t / T)**2
print('Kinetic energy at t=T/8:', Ek, 'J')
print('Potential energy at t=T/8:', Ep, 'J')

Результат:
Kinetic energy at t=T/8: 0.0487 J
Potential energy at t=T/8: 0.0298 J