В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды. ( подсказка: в правильной треугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями.)
С чертежом

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим более удобные обозначения для вычисления площади. Обозначим боковое ребро пирамиды как h, а высоту усеченной пирамиды как H.

Так как пирамида правильная, то рёбра оснований лежат на точках, равноудаленных от вершины, а значит, их стороны также будут иметь длину 4 и 8.

Также известно, что площадь сечения пирамиды, проходящего через боковое ребро и середину противоположного основания, равна 6. Однако, так как усеченная пирамида является равнобедренной, то это сечение будет являть собой равнобедренный треугольник, проходящий через середину основания. Поэтому можно найти площадь одного из треугольников, образованных сечением и боковой стороной основания, и умножить её на 3, чтобы найти площадь всего сечения.

Теперь, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сложить площади оснований, площадь боковой поверхности и площадь основания.

Разберёмся с площадью сечения. Так как сечение делит боковое ребро пополам, то его высота будет составлять 1/2 h. Также, так как сечение содержит середину противоположной стороны основания, то его высота также будет составлять 1/2 H.

Из этого мы можем выразить площадь сечения через высоту h и H:

S = 1/2 1/2 h * H

Так как S = 6, то можем подставить это значение и найти соотношение между h и H:

6 = 1/4 h H
24 = h * H

Теперь мы можем получить высоту H через высоту h:

H = 24 / h

Также, из равнобедренности усеченной пирамиды, сторонами равнобедренной трапеции будут боковое ребро h, высота h и основание 4. Таким образом, плoщадь трапеции будет равна:

S1 = 1/2 (4 + 8) h = 6h

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна площади 4 равнобедренных трапеций:

S2 = 4 * S1 = 24h

Площадь одного из оснований пирамиды будет равна площади правильного треугольника:

S3 = 1/2 4 4 * sqrt(3) = 8sqrt(3)

Таким образом, общая площадь полной поверхности пирамиды будет равна:

S = 2 * S3 + S2 = 16sqrt(3) + 24h

Итак, мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды, выразив h через H и подставив значения в полученное уравнение.