В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1,точки D, E - середины ребер соответственно А1В1 и A1C1. Найдите тангенс угла между плоскостями ADE и BCC1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек D и E. Так как D - середина ребра A1B1, то координаты точки D будут равны (0.5, 0, 0.5). Аналогично, координаты точки E будут (0.5, 0.5, 0).

Теперь найдем векторы DE и DC1. Вектор DE = E - D = (0.5, 0.5, -0.5) - (0.5, 0, 0.5) = (0, 0.5, -1). А вектор DC1 = C1 - D = (1, 1, 0) - (0.5, 0, 0.5) = (0.5, 1, -0.5).

Теперь найдем векторное произведение векторов DE и DC1. DE x DC1 = (0.5 (-1) - (-1) 1, -((0) (-0.5) - (-1) 0.5), (0) 1 - 0.5 0.5) = (0.5 + 1, -0.5, 0) = (1.5, -0.5, 0).

Теперь найдем скалярное произведение векторов DE и DC1. |DE| = sqrt(0^2 + 0.5^2 + (-1)^2) = sqrt(0.25 + 1) = sqrt(1.25). |DC1| = sqrt(0.5^2 + 1^2 + (-0.5)^2) = sqrt(0.25 + 1 + 0.25) = sqrt(1.5). DE DC1 = 1.5 1.5 - 0.5 * 1 = 2.25 - 0.5 = 1.75.

Теперь найдем тангенс угла между плоскостями ADE и BCC1. Тангенс угла между двумя плоскостями можно найти по формуле tg(α) = |n1 n2| / (n1 n2), где n1 и n2 - векторы нормали к данным плоскостям. В данном случае n1 - вектор, найденный в результате векторного произведения DE x DC1, а n2 = (1, 1, 0) (вектор нормали к плоскости BCC1).

|DE DC1| = sqrt(|DE|^2 |DC1|^2) = sqrt(1.25 * 1.5) = sqrt(1.875). Таким образом, tg(α) = sqrt(1.875) / 1.75 = sqrt(1.875) / 1.75.

Ответ: tg(α) = sqrt(1.875) / 1.75.