Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведённых из вершин острых углов, на продолжениях сторон

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим наш тупоугольный треугольник ABC, где C – вершина с тупым углом.

Проведем высоту CH из вершины C на сторону AB в точку H. Предположим, что точка H лежит вне отрезка AB. Тогда построим прямую, проходящую через точку H и параллельную стороне AB. Обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением стороны BC за D.

Теперь у нас есть два треугольника: ADC и AHC. У них все углы равны, так как угол ADC и угол AHC – это прямые углы, а угол CAD и угол CAH – это общие, а угол ADC и угол ACH – это вертикальные углы. Таким образом, по двум сторонам и углу они равны, и значит, эти треугольники равны.

Но это противоречит тому, что длина стороны AD больше длины стороны AH. Значит, наше предположение неверно и точка H должна лежать на стороне AB.

Аналогично можно доказать, что основания высот, проведенных из вершин острых углов, лежат на продолжениях сторон.