В треугольнике abc проведена медиана bm.Прямая проходящая через точку A,пересекает медиану в точке K,а сторону BC-в точке D,при этом BK:KM=3:2.Найти отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольник KDCM

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть S1 - площадь треугольника ABK, S2 - площадь четырехугольника KDCM. Так как BK:KM=3:2, то S1:SM = 3:2.

Площади треугольников ABK и AMK относятся как их основания (по точке M)
S1:S2 = AB:AC.

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников ABK и DBC: S1:S(ABC) = AB:BC = AB:(2BM) = 2AB:(AC).

Имеем систему уравнений
1) S1:SM = 3:2
2) S1:S2 = AB:AC
3) S1:S(ABC) = 2AB:(AC).

Решим ее. Из первого уравнения находим, что S1 = 3SM/2. Подставим это выражение во второе и третье уравнения
3SM/2:S2 = AB:AC
3SM/2:2AB/(AB+BC) = 2AB:(AB+BC).

Упростим второе уравнение
3SM/2:2AB/AM = 2AB:(AB+BC)
3SM/2 = 2AB/AM*(AB+BC).

Таким образом, площадь треугольника ABK равна сумме площадей треугольников AMK и ABM.

S1 = S(AMK) + S(ABM) = S(ABC) - S(BCM) + S(ABC) - S(AMC) = 2S(ABC) - S(BCM) - S(AMC) = 2S(ABC) - S(BDC).

Таким образом, отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KDCM равно 2:1.