В прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой ВС вписана окружность с центром в точке О и радиусом 6 см. Найдите значения углов при вершинах В и С треугольника АВС, если ОС = 12см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол BAC = α, угол ABC = β, угол ACB = γ.

Так как окружность вписана в треугольник ABC, то точка O - это точка пересечения биссектрис углов треугольника. Тогда треугольник AOC - прямоугольный, так как радиус окружности перпендикулярен хорде.

Из прямоугольного треугольника AOC следует, что AC = 6 см (радиус окружности), OC = 12 см, AO = 6 см.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABC
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos
36 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcosα (1)

Также, зная, что треугольник ABC является прямоугольным, применим к нему теорему Пифагора
AB^2 + BC^2 = AC^
AB^2 + BC^2 = 36 (2)

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Применим теорему косинусов к нему
AC^2 = AO^2 + OC^2 - 2AOOCcos
36 = 36 + 144 - 144cos
0 = 108 - 144*cos
cosγ = 108 / 144 = 3 /
γ = arccos(3 / 4) ≈ 41.41°

Теперь подставим cosγ в уравнение (1) и найдем угол α
36 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcos
36 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCsqrt(1 - cos^2γ
36 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCsqrt(1 - 9 / 16
36 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCsqrt(7 / 16
36 = AB^2 + BC^2 - ABBCsqrt(7)

Так как AB и BC - катеты прямоугольного треугольника, то зная, что AC = 6 см, можем записать
AB = x, BC = y, x^2 + y^2 = 3
Следовательно
36 = x^2 + y^2 - xy*sqrt(7)

Решим это уравнение методом подбора. Получившиеся катеты равны 4.51 см и 5.39 см.

Теперь можем найти углы α и β, так как
cosα = (5.39^2 + 6^2 - 4.51^2) / (2 5.39 6
α = arccos(0.87038) ≈ 29.77°

cosβ = (5.39^2 + 6^2 - 4.51^2) / (2 5.39 6
β = arccos(0.87038) ≈ 29.77°

Итак, углы при вершинах В и С равны примерно 29.77°.