Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает ег
сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K. Найдите площад
трапеции AMKC, если BM = 4 см, AM = 8 см, а площадь треугольника MBK равна 5 см².

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи следует, что треугольник MBK — это прямоугольный треугольник.

Площадь треугольника MBK равна
S_triangle_MKB = (1/2) MB BK = 5

Так как треугольник MBK прямоугольный, то можем записать
MB^2 + BK^2 = MK^2

Также, площадь трапеции AMKC равна
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (AM + CK) MK

Из подобия треугольников ABC и KMC, можем записать
CK / AC = MK / BC

Так как CK = AC - AM и BC = AM, то
(AC - AM) / AC = MK / A
AC - AM = AC MK / A
AC = AM MK / (AM - MK)

Так как площадь треугольника ABC равна площади треугольника MBK, то
S_triangle_ABC = S_triangle_MK
(1/2) AC BC =
(1/2) AC AM =
AC * AM = 10

Подставим найденное значение AC в формулу для площади трапеции
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (8 + CK) M
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (8 + (AM MK / (AM - MK))) M
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (8 + (8 5 / (8 - 5)))
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (8 + 40 / 3)
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (24 / 3 + 40 / 3)
S_trapezoid_AMKC = (1/2) (64 / 3)
S_trapezoid_AMKC = (64 / 6) *
S_trapezoid_AMKC = 320 /
S_trapezoid_AMKC = 160 / 3

Итак, площадь трапеции AMKC равна 160 / 3 или приблизительно 53.33 см².