В треугольнике АВС проведены высоты АH, ВN и СP, которые пересекаются в точке Q. Известно, что QH = 10 см, ОN = 9 см, AN = 18 см. Найдите ВH. Ответ дайте в сантиметрах

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC двумя способами:

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABQ, BCQ и ACQ.

Площадь треугольника ABC равна полупроизведению сторон AB и BH, так как BH - высота треугольника ABC.

S(ABC) = S(ABQ) + S(BCQ) + S(ACQ
S(ABC) = 0.5 AB BH

Теперь выразим BH через неизвестные величины:

S(ABC) = S(ABQ) + S(BCQ) + S(ACQ
S(ABC) = 0.5 AB B
0.5 AB BH = 0.5 AQ QH + 0.5 BQ QN + 0.5 AC C
AB BH = AQ QH + BQ QN + AC C
AB BH = 18 10 + BQ 9 + 9 C
BH = 180 + 9 * CQ / AB + BQ

Теперь вспомним, что точка Q лежит на высоте BN, следовательно
BQ = BN - NQ = AB * sin(В) - 9

Подставляем полученные выражения в предыдущую формулу и получаем уравнение
BH = 180 + 9 CQ / AB + AB sin(B) - 9

Так как мы знаем значения AN и ANQ, найдем sin В
sin(В) = ANQ / AN = 9 / 18 = 0.5

Теперь подставляем все известные значения
BH = 180 + 9 CQ / 18 + 18 0.5 -
BH = 180 + 0.5 CQ + 9 -
BH = 180 + 0.5 CQ

Теперь осталось найти CQ. Заметим, что точка Q лежит на высоте CP, следовательно, CQ = PC-
Так как PC - одна из сторон треугольника, а QP = 10, то CQ = AC - 1
AC = AB * cosB = 18 / cos(В)

Подставляем CQ в уравнение для BH
BH = 180 + 0.5 (AC - 10
BH = 180 + 0.5 (18 / cos(В) - 10)

Таким образом получаем BH = 180 + 0.5 * (18 / cos(В) - 10).