Точка N — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD за O.

Так как N — середина стороны CD, то DN = NC.

Также из теоремы о параллельности диагоналей трапеции известно, что треугольник ADN подобен треугольнику OCB, а треугольник BNC подобен треугольнику ODA.

Из подобия треугольников следует, что S(ADN)/S(OCB) = (AD/OC)^2 и S(BNC)/S(ODA) = (BN/OD)^2, где S(X) обозначает площадь фигуры X.

Так как OC = OD (диагонали трапеции равны), то (AD/OC)^2 = (BN/OD)^2.

Учитывая, что все площади прямоугольных треугольников выражаются через катеты по формуле S = 0.5ab, получим, что S(ADN) = S(OCB) и S(BNC) = S(ODA).

Таким образом, сумма площадей треугольников ADN и BCN равна половине площади трапеции ABCD.