Через конечную точку A диагонали AC=11,4 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая перпендикулярно диагонали AC. Проведённая прямая пересекает прямые CB и CD в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи известно, что AC=11,4. Также известно, что угол BAC=90 градусов, так как прямая проведена перпендикулярно диагонали AC.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то он подобен другому прямоугольному треугольнику AMN (по принципу угловой подобности). Таким образом, AMN - это меньший подобный треугольник прямоугольного треугольника ABC.

Поэтому AM/AC=AN/AB=MN/BC, где MN - искомая длина отрезка MN.

Откуда MN = BC * AM / AC.

Из подобия треугольников AMN и ABC получаем AM / AB = AN / AC, т.е. AM AC = AN AB. Тогда AM = AN * AB / AC.

Также, из подобия треугольников AMN и ABC, AM/AC = MN/BC, или AM = MN*BC / AC.

Итак, ANAB / AC = MNBC / AC, откуда MN = AN*AB / BC.

Далее, для определения AN и AB воспользуемся теоремой Пифагора:
AB^2 = AD^2 + BD^2,
AC^2 = AD^2 + DC^2.

Так как AC = 11,4, то из второго уравнения получаем DC = sqrt(AC^2 - AD^2).

Из теоремы Пифагора для AMN получаем:
AM^2 = AN^2 + MN^2.

Подставляем значения AM и DC в это уравнение и решаем систему уравнений для определения длины отрезка MN.