Около треугольника ABC описана окружность. Биссектриса угла BAC пересекает высоту треугольника BH в точке K, BK:KH = 5:3. Найти радиус описанной окружности, если BC = 8.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку в треугольнике BKH биссектриса угла BKH пересекается с высотой BH, то угол KBH равен углу CBH. Так как угол CBH равен углу BAC, то угол KBH равен углу BAC.

Таким образом, треугольник KBH подобен треугольнику ABC, так как у них равны углы напротив равных сторон. Следовательно, соотношение сторон в этих треугольниках также равно 5:3.

Из подобия треугольников KBH и ABC можно записать пропорцию:

BH/BC = KH/KB = 3/5

Отсюда находим, что KH = 3, KB = 5, а BH = 3∙8/5 = 24/5 = 4.8.

Так как BH есть высота треугольника ABC, то площадь треугольника равна S = 1/2∙BH∙BC = 1/2∙4.8∙8 = 19.2.

Также площадь треугольника можно найти через формулу площади треугольника через радиус описанной окружности: S = abc/(4R), где a, b и c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

Подставляем значения: 19.2 = 8∙8∙sin(A)/2R и таким образом найдем, что R = 8/sin(A).

Из тригононметрических выкладок также можно получить, что sin(A) = 5/sqrt(13).

Таким образом, радиус описанной окружности R = 8/(5/sqrt(13)) = 8∙sqrt(13)/5.

Итак, радиус описанной окружности составляет 8∙sqrt(13)/5.